A公司为支付购货款，向B公司签发一张100万元的银行承兑汇票，甲银行已经承兑。B公司取得汇票后，将其背书转让给C公司以支付购货款，在背书时，B公司在汇票背面第一个背书栏内签章，但未记载“被背书人名称”

背景材料

A公司为支付购货款，向B公司签发一张100万元的银行承兑汇票，甲银行已经承兑。B公司取得汇票后，将其背书转让给C公司以支付购货款，在背书时，B公司在汇票背面第一个背书栏内签章，但未记载“被背书人名称”，直接将该汇票交付给C公司。C公司在被背书人栏内记载自己的名称后，将其背书转让给D公司，并在背书栏内注明“工程验收合格后即付款”。后工程发生严重质量问题。

在C公司与D公司发生工程纠纷期间，D公司将该汇票背书转让给知情的E公司以支付广告费。汇票到期后，E公司在法定期限内向甲银行提示付款，甲银行以出票人A公司银行账户内金额不足为由拒绝支付票款，E公司遂向C、D公司行使追索权。

要求：

根据上述内容，分别回答下列问题：

[简答]

B公司向C公司背书时未记载“被背书人名称”，C公司在被背书人栏内记载自己的名称后，该背书是否有效?并说明理由。